Vera Vargas Jesus Alberto: EVAP5

VIGAS EMPOTRADAS

Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de un vehículo es también una viga. El objetivo principal de este capítulo es determinar el sistema de fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier segmento de viga.

Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema de tres componentes de fuerzas internas en una sección, éstas son:

1. Las fuerzas axiales

2. Las fuerzas cortantes

3. El momento flector

La determinación de sus magnitudes es el objetivo de este capítulo.

Calculo de reacciones

Convenciones de simbología para apoyos y cargas

Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologías tanto para apoyos como para cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar tales convenciones evita confusión y reduce al mínimo las posibilidades de cometer errores.

Existen tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes:

 Apoyo móvil o de rodillo: éste permite el desplazamiento a lo largo del eje longitudinal de la viga y el giro de ésta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción en ese sentido.

El esfuerzo Cortante en las Vigas

Si se supone que cualquiera de las vigas representadas en las Figuras 1 se divide en dos trozos por una sección recta cualquiera situada a la distancia x del apoyo de la izquierda y que se prescinde del fragmento de la derecha de la sección, para que el trozo resultante se mantenga en equilibrio hay que suponer que en esa sección actúa una fuerza V(x) en la misma dirección y sentido contrario a las fuerzas que se ejercen sobre la viga, de forma que:

V (x) = R 1 - (P 1 + P 2 + ...) = R 1 - F (x)

F(x) es una función que depende de la distribución de las cargas sobre la viga. El equilibrio estático exige que

R 1 + R 2 = F (L).

. Cuando x = 0, V(x) = R₁ y cuando x = L, V(L) = - R₂. Esto significa que, en todos los casos, el valor V(x) pasa de un valor positivo a otro negativo. Siendo la función V(x) continua, deberá presentar en algún punto determinado de la viga un valor nulo: x = a, V(a) = 0.

La distribución de esta fuerza cortante en una sección cualquiera de la viga perpendicular al plano neutro, se puede considerar, en la mayor parte de los casos prácticos, uniforme en la dirección z, pero no en la y. Esta distribución depende de la forma de esta sección. Se exponen tres ejemplos:

a) Sección rectangular $\tau (x) = \frac{V}{2.I_y}( \frac{h^2}{4} - y^2 )$

b) Sección circular $\tau (x) = \frac{V.r}{3.I_y}\sqrt{r^2 - y^2}$

c) Sección en

I

$\tau (x) = \frac{V}{I_y.b_1}[\frac{b}{8}(h^2-h_1^2)+\frac{b_1}{2}(\frac{h_1^2}{4}-y^2)]$

Como puede observarse, en todos los casos el valor máximo de la tensión cortante se sitúa en el centro de la figura (y = 0). El valor medio de

τ

se expresa como $\tau_m= \frac{V}{A}$ , la relación entre este valor y el máximo en cada caso vale:

a) Sección rectangular: El valor máximo vale $\tau_M = \frac{V.h^2}{8.I_y}$ siendo $I_z = \frac{b.h^3}{12}$ , luego $\tau_M = \frac{3.V}{2.b.h}$

Puesto que definimos como $\tau_m = \frac{V}{b.h}$ , por consiguiente $\frac{\tau_M}{\tau_m} = 1,5$

es decir, la tensión máxima en cualquier sección, a lo largo de x, es un 50% mayor que la media.

b) Sección circular: Análogamente, se deduce que $\frac{\tau_M}{\tau_m} = \frac{4}{3}$

en este caso, la tensión máxima en cualquier sección, a lo largo de x, es un 33% mayor que la media.

. c) Sección en I: $\tau_M = \frac{V}{8.b_1.I_y}.[ b.h^2 - h_1^2.(b-b_1) ]$

El valor mínimo vale en este caso: $\tau_o = \frac{V.b}{8.b_1.I_y}.(h^2-h_1^2)$

En los perfiles laminados estándar el valor de

b 1

es pequeño en relación con el de

b

y puede considerarse, a efectos prácticos, que Lla diferencia

b - b 1

es muy pequeña , y por tanto, que la diferencia entre la tensión cortante máxima

τ M

–en el plano neutro– y la mínima

τ o

–en el plano superficial– es también pequeña y en por lo tanto, ambas próximas al valor medio. En este caso se puede admitir que el esfuerzo cortante presenta una distribución casi uniforme a lo largo del alma del perfil.

El valor de la sección a considerar viene dado, para cada perfil, en las tablas correspondientes como “Área de cortante” (Norma EC-3, art. 5.4.6.(2).a).

Vigas simples: